Χρυσή τομή

Στα μαθηματικά και την τέχνη, δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.

Εκφρασμένο αλγεβρικά: η τιμή του είναι:1.6180339877...

Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας. Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία ενώ στον Ευκλείδη ο όρος ήταν άκρος και μέσος λόγος.

Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ού αιώνα προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν τη χρυσή αναλογία—ιδίως στη μορφή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη είναι η χρυσή τομή—πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη.

Οι μαθηματικοί από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι σήμερα έχουν μελετήσει τις ιδιότητες της χρυσής τομής, συμπεριλαμβανομένης της εμφάνισής της στις διαστάσεις ενός κανονικού πενταγώνου και ενός χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, το οποίο μπορεί να χωριστεί σε ένα τετράγωνο και ένα παρόμοιο παραλληλόγραμμο με τον ίδιο λόγο πλευρών όπως το αρχικό.

Η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί επίσης για την ανάλυση των αναλογιών φυσικών αντικειμένων καθώς και τεχνητών συστημάτων όπως οι οικονομικές αγορές.

Η χρυσή τομή συνεπαίρνει Δυτικούς διανοούμενους ποικίλων ενδιαφερόντων για τουλάχιστον 2.400 χρόνια.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί πρώτοι μελέτησαν αυτό που τώρα ονομάζουμε χρυσή τομή γιατί εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία. Η διαίρεση ενός τμήματος σε άκρο και μέσο λόγο (εξ ου και η χρυσή τομή) είναι σημαντική στη γεωμετρία των πενταγράμμων και πενταγώνων. Η αντίληψη αυτή αποδίδεται συνήθως στον Πυθαγόρα και τους ακολούθους του και λέγεται ότι η σχετική θεωρία διατυπώθηκε για πρώτη φορά από την πυθαγόρεια φιλόσοφο Θεανώ.

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού καθώς και στο πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν τον πρώτο γραπτό ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή: "Μια ευθεία γραμμή λέγεται ότι έχει κοπεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όλη η ευθεία είναι για το μεγαλύτερο κομμάτι ότι είναι το μεγαλύτερο κομμάτι για το μικρότερο". Ο Ευκλείδης παραθέτει μια για το χώρισμα της γραμμής σε άκρο και μέσο λόγο. Σε όλα τα Στοιχεία αρκετές προτάσεις και οι αποδείξεις τους εμπεριέχουν τον χρυσό λόγο.

Η πρώτη γνωστή προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα, ως περίπου 0,6180340, γράφτηκε το 1597 από τον Michael Maestlin του Πανεπιστήμιο του Τύμπιγκεν σε ένα γράμμα του προς τον πρώην φοιτητή του Γιοχάνες Κέπλερ.

Από τον 20ό αιώνα, η χρυσή τομή παριστάνεται με τον ελληνικό γράμμα Φ ή φ (φ, από το αρχικό γράμμα του γλύπτη Φειδία ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που τον χρησιμοποίησε στα έργα του) και πιο σπάνια από το τ το αρχικό γράμμα της λέξης τομή.

Χρονολόγιο σύμφωνα με τον Priya Hemenway:

 •   Ο Φειδίας (490–430 π.Χ.) έφτιαξε τα αγάλματα του Παρθενώνα τα οποία φαίνεται να ενσωματώνουν την χρυσή αναλογία.

 •   Ο Πλάτων (427–347 π.Χ.), στον Τίμαιο, περιγράφει τα πέντε Πλατωνικά στερεά: το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο, και το εικοσάεδρο), κάποια από τα οποία σχετίζονται με την χρυσή τομή.

 •   Ο Ευκλείδης (π. 325–π. 265 π.Χ.), στα Στοιχεία, έδωσε τον πρώτο γραπτό ορισμό της χρυσής τομής, την οποία ονόμασε "ἄκρος καὶ μέσος λόγος"

 •   Ο Φιμπονάτσι (1170–1250) ανέφερε την ακολουθία αριθμών που τώρα φέρει το όνομα του στο βιβλίο του Liber Abaci; ο λόγος διαδοχικών στοιχείων της ακολουθίας Φιμπονάτσι προσεγγίζει ασυμπτωτικά την χρυσή τομή.

 •   Ο Λούκα Πατσιόλι (Luca Pacioli, 1445–1517) καθορίζει την χρυσή τομή ως "Θεϊκή αναλογία" στο ομώνυμο έργο του Divina Proportione.

 •   Ο Μίχαελ Μέστλιν (Michael Maestlin, 1550–1631) δημοσιεύει την πρώτη γνωστή προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα.

 •   Ο Γιοχάνες Κέπλερ (1571–1630) αποδεικνύει ότι η χρυσή τομή είναι το όριο της ακολουθίας των λόγων διαδοχικών όρων της ακολουθίας Φιμπονάτσι, και περιγράφει την χρυσή τομή ως "πολύτιμο κόσμημα": "Η Γεωμετρία έχει δύο θησαυρούς: ο ένας είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και ο άλλος η διαίρεση μιας ευθείας σε άκρο και μέσο λόγο· τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με χρυσό, τον δεύτερο με ένα πολύτιμο κόσμημα." οι δύο αυτοί θησαυροί συνδυάζονται στο Τρίγωνο του Κέπλερ.

 •   Ο Charles Bonnet (1720–1793) επισημαίνει ότι στη φυλλοταξία φυτών που πηγαίνουν με την φορά των δεικτών του ρολογιού και αντίστροφα υπήρχαν συχνά δύο διαδοχικές ακολουθίες Φιμπονάτσι.

 •   Ο Martin Ohm (1792–1872) πιστεύεται ότι είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο goldener Schnitt (χρυσή τομή) για να περιγράψει αυτό το λόγο, το 1835.

 •   Ο Édouard Lucas (1842–1891) δίνει στην ακολουθία που τώρα είναι γνωστή ως Φιμπονάτσι το σημερινό της όνομα.

 •   Ο Mark Barr (20ος αιώνας) προτείνει το ελληνικό γράμμα φ, το πρώτο γράμμα του γλύπτη Φειδία για τον συμβολισμό της χρυσής τομής.

 •   Ο Ρότζερ Πένροουζ (γεν. 1931) ανακάλυψε ένα συμμετρικό μοτίβο που χρησιμοποιεί τη χρυσή τομή στο πεδίο των απεριοδικών πλακοστρώσεων.

Το De Divina proportione, ένα τρίτομο έργο του Luca Pacioli, δημοσιεύθηκε το 1509. Ο Pacioli, ένας Φραγκισκανός μοναχός, ήταν κυρίως γνωστός ως μαθηματικός, αλλά είχε επίσης εκπαιδευτεί και έδειχνε έντονο ενδιαφέρον για την τέχνη.

Στο De Divina proportione διερευνήθηκαν τα μαθηματικά της χρυσής αναλογίας. Παρ'ότι λέγεται συχνά ότι ο Pacioli υποστήριζε την εφαρμογή της χρυσή αναλογίας για να δώσει ευχάριστες, αρμονικές αναλογίες,ο Livio επισημαίνει ότι η ερμηνεία έχει προήλθε από ένα λάθος το 1799, και ότι ο Pacioli υποστήριζε πραγματικά το Βιτρούβιο σύστημα των ρητών αναλογιών.

Ο Pacioli επίσης παρατήρησε θρησκευτική σημασία στην αναλογία, η οποία οδήγησε στον τίτλο του έργου του.

Το De Divina proportione περιλαμβάνει απεικονίσεις των κανονικών στερεών από τον Leonardo da Vinci, παλιό φίλο και συνεργάτη του Pacioli.

Ο Ελβετός αρχιτέκτονας Λε Κορμπυζιέ, γνωστός για τη συμβολή του στο σύγχρονο διεθνές αρχιτεκτονικό στυλ, εστίασε τη φιλοσοφία του σχεδιασμού του σε συστήματα αρμονίας και αναλογίας.

Η πίστη του Λε Κορμπυζιέ στη μαθηματική τάξη του σύμπαντος ήταν στενά συνδεδεμένη με τη χρυσή αναλογία και τη σειρά Φιμπονάτσι, τις οποίες περιέγραψε ως "ρυθμούς εμφανείς δια γυμνού οφθαλμού και σαφείς στις σχέσεις τους το ένα με το άλλο. Και αυτοί οι ρυθμοί βρίσκονται στη ρίζα των ανθρωπίνων δραστηριοτήτων.

Αντηχούν στον άνθρωπο από οργανικό αναπόφευκτο, το ίδιο αναπόφευκτο που προκαλεί την παρατήρηση της Χρυσής Τομής από τα παιδιά, τους ηλικιωμένους, τους άγριους και τους μορφωμένους ".

Ο Λε Κορμπυζιέ χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο Modulor σύστημα του για την κλίμακα της αρχιτεκτονικής αναλογίας. Είδε το σύστημα αυτό, ως συνέχεια της μακράς παράδοσης του Βιτρούβιου,του "Άνθρωπος του Βιτρούβιου" του Leonardo da Vinci, του έργο του Leon Battista Alberti, και των άλλων που χρησιμοποίησαν τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος για να βελτιώσουν την εμφάνιση και τη λειτουργία της αρχιτεκτονικής.

Εκτός από τη χρυσή αναλογία, ο Λε Κορμπυζιέ θεμελίωσε το σύστημα πάνω στις ανθρώπινες μετρήσεις και τους αριθμούς Φιμπονάτσι . Επίσης, πρότεινε την εφαρμογή της χρυσής αναλογίας σε ανθρώπινες αναλογίες: χώρισε το ύψος ενός ανθρώπινου μοντέλου στον ομφαλό με τα δύο τμήματα να βρίσκονται σε χρυσή αναλογία, κατόπιν υποδιαίρεσε αυτά τα δύο τμήματα σε χρυσή αναλογία στα γόνατα και το λαιμό και χρησιμοποίησε αυτές τις αναλογίες στο Modulor σύστημα του.

Η Villa Stein στις Garches που σχεδίασε ο Λε Κορμπυζιέ το 1927 αποτέλεσε παράδειγμα της εφαρμογής του συστήματος του Modulor. Η ορθογώνια κάτοψη της βίλας, το υψόμετρο, και η εσωτερική δομή προσεγγίζονται από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες.

Ένας άλλος Ελβετός αρχιτέκτονας, ο Μάριο Μπότα (Mario Botta), βασίζει πολλά από τα σχέδιά του σε γεωμετρικά σχήματα. Αρκετές ιδιωτικές κατοικίες που σχεδίασε στην Ελβετία αποτελούνται από τετράγωνα και κύκλους, κύβους και κυλίνδρους. Σε ένα σπίτι που σχεδίασε στο Origlio, η χρυσή αναλογία είναι η αναλογία μεταξύ του κεντρικού τμήματος και των πλευρικών τμημάτων του σπιτιού.

Σε ένα πρόσφατο βιβλίο, ο συγγραφέας Jason Elliot εικάζει ότι η χρυσή αναλογία χρησιμοποιήθηκε από τους σχεδιαστές του Naqsh-e Jahan Square και του παρακείμενου Lotfollah τζαμιού .

Ο φιλόσοφος Χάινριχ Κορνέλιους Αγκρίπα του 16ου αιώνα ζωγράφισε έναν άνθρωπο πάνω σ'ένα πεντάγραμμο μέσα σε ένα κύκλο, γεγονός που συνεπάγεται μια σχέση με τη χρυσή αναλογία. Οι εικονογραφήσεις του Λεονάρντο ντα Βίντσι στα πολύεδρα στην De divina proportione (Στην θεϊκή αναλογία) και οι απόψεις του ότι ορισμένες σωματικές αναλογίες εμφανίζουν την χρυσή αναλογία έχουν οδηγήσει ορισμένους επιστήμονες να εικάζουν ότι ενσωμάτωσε τη χρυσή αναλογία στα έργα του. Ωστόσο, η άποψη ότι στην Μόνα Λίζα , για παράδειγμα, χρησιμοποιεί χρυσή αναλογία, δεν υποστηρίζεται σε κανένα από τα κείμενα του. Ομοίως, αν και ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου συχνά φαίνεται να είναι συνδεδεμένος με τη χρυσή αναλογία, οι αναλογίες του σχήματος στην πραγματικότητα δεν ταιριάζουν με αυτήν την άποψη, και το κείμενο αναφέρει μόνο αναλογίες ακεραίων αριθμών.

➤  Ακολουθία Φιμπονάτσι